Question

【題目】如圖，點O是等邊△ABC內一點，D是△ABC外的一點，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，連接OD．

（1）求證：△OCD是等邊三角形．

（2）當α=150°時，試判斷△AOD的形狀（按角分類），并說明理由．

（3）求∠OAD的度數．

（4）探究：當α=　 　時，△AOD是等腰三角形．（不必說明理由）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）是直角三角形，理由見解析；（3）50°；（4）110°或125°或140°

【解析】

（1）根據全等三角形的性質得到OC=DC，根據等邊三角形的判定定理證明即可；

（2）根據全等三角形的性質得到∠ADC=∠BOC=∠α=150°，結合圖形計算即可；

（3）根據全等三角形的性質得到∠ADC=∠BOC=∠α，根據題意求出∠ADO、∠AOD，根據三角形內角和定理計算；

（4）分∠AOD=∠ADO、∠AOD=∠OAD、∠ADO=∠OAD三種情況，根據等腰三角形的判定定理計算即可．

解：（1）∵△BOC≌△ADC，

∴OC=DC．

∵∠OCD=60°，

∴△OCD是等邊三角形；

（2）△AOD是Rt△．理由如下：

∵△OCD是等邊三角形，∴∠ODC=60°，

∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，

∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，

∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=150°﹣60°=90°，

∴△AOD是直角三角形；

（3）由△BOC≌△ADC，得∠ADC=∠BOC=∠α．

∵△OCD是等邊三角形，

∴∠ADO=α﹣60°，∠AOD=360°﹣110°﹣α﹣60°=190°﹣α，

∴∠OAD=180°﹣∠ADO﹣∠AOD=50°；

（4）①當∠AOD=∠ADO時，190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°．

②當∠AOD=∠OAD時，190°﹣α=50°，∴α=140°．

③當∠ADO=∠OAD時，α﹣60°=50°，∴α=110°．

綜上所述：當α=110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形，

故答案為：110°或125°或140°．