Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點D，過點B作BE⊥PD，交PD的延長線于點C，連接AD并延長，交BE于點E．

（1）求證：AB=BE；

（2）連結OC，如果PD=，∠ABC=，求OC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）OC=

【解析】

試題分析：（1）連接OD，根據OA=OD得出∠DAO=∠ADO，根據切線的性質得出PD⊥OD，從而說明OD∥BE，得出∠E=∠ADO，則∠E=∠DAO，從而說明答案；（2）根據OD∥BE，∠ABC=60°得出∠DOP=∠ABC=60°，根據tan∠DOP的值得出OD，OP和PB的長度，根據sin∠ABC的值得出PC和DC的長度，最后根據Rt△ODC的勾股定理求出OC的長度.

試題解析：（1）連結OD.

∵OA=OD，∴，

∵PD切⊙O于點D，∴PD⊥OD，

∵BE⊥PD， ∴OD∥BE，

∴，

∴，

∴AB=BE.

（2）∵OD∥BE，∠ABC=，

∴，

∵ PD⊥OD，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴

∴（舍負）.