Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，點E為△ABC的內心，連接AE并延長交⊙O于D點，連接BD并延長至F，使得BD=DF，連接CF、BE．

（1）求證：DB=DE；

（2）求證：直線CF為⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）欲證明DB=DE，只要證明∠DBE=∠DEB；

（2）欲證明直線CF為⊙O的切線，只要證明BC⊥CF即可；

試題解析：（1）證明：∵E是△ABC的內心，∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．

（2）連接CD．∵DA平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC，∴，∴BD=CD，∵BD=DF，∴CD=DB=DF，∴∠BCF=90°，∴BC⊥CF，∴CF是⊙O的切線．