Question

【題目】如果方程x2＋px＋q＝0的兩個根是x1、x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.請根據以上結論，解決下列問題：

（1）已知關于x的方程x2＋mx＋n＝0 (n≠0)，求出一個一元二次方程，使它的兩根分別是已知方程兩根的倒數；

（2）已知a、b滿足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求的值；

（3）已知a、b、c均為實數，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正數c的最小值．

Answer 1

【答案】（1）nx2＋mx＋1＝0；（2）－47或2；（3）c的最小值為4.

【解析】試題分析：(1) 設x2＋mx＋n＝0 (n≠0)的兩根為x1、x2，根據根與系數的關系可得x1＋x2＝－m，x1·x2＝n，將以上兩式變形可得 和，即可求出答案．(2)根據a、b滿足a2－15a－5=0，b2－15b－5=0，得出a，b是x2－15x－5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求結果；(3)根據a+b+c=0，abc=16，得出a+b=-c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0的解，再根據c2-4×≥0，即可求出c的最小值.

解：(1)設x2＋mx＋n＝0 (n≠0)的兩根為x1、x2.∴x1＋x2＝－m，x1·x2＝n.∴＋＝＝－，·＝.∴所求一元二次方程為x2＋x＋＝0，即nx2＋mx＋1＝0.

(2)①當a≠b時，由題意知a、b是一元二次方程x2－15x－5＝0的兩根，∴a＋b＝15，ab＝－5.∴＋＝＝＝＝－47.②當a＝b時，＋＝1＋1＝2.綜上，＋＝－47或2.

(3)∵a＋b＋c＝0，abc＝16，∴a＋b＝－c，ab＝.∴a、b是方程x2＋cx＋＝0的兩根，∴Δ＝c2－≥0.∵c＞0，∴c3≥64，∴c≥4，∴c的最小值為4.