Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝ 120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN＋∠ANM的度數為 ．

Answer 1

【答案】120°
【解析】作A關于BC和CD的對稱點A′，A′′，交BC于M，交CD于N，根據軸對稱的性質得出A′A′′即為△AMN周長的最小值.
∵∠BAD＝ 120°，
∴∠AA′A′′+∠AA′′A′=180°-120°=60°，
又∵A、A′關于BC對稱，A、A′′關于CD對稱，
∴∠MAA′=∠MA′A，∠NAA′′=∠NA′′A，
又∵∠AMN=∠MAA′+∠MA′A，∠ANM=∠NAA′′+∠NA′′A，
∴∠AMN＋∠ANM=∠MAA′+∠MA′A+∠NAA′′+∠NA′′A，
=2（∠MA′A+∠NA′′A），
=2×60°，
=120°.
所以答案是：120°.

【考點精析】關于本題考查的三角形的外角和線段垂直平分線的性質，需要了解三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等才能得出正確答案．