Question

【題目】如圖1，拋物線y=﹣ [（x﹣2）2+n]與x軸交于點A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（點A在點B的左側），與y軸交于點C，連結BC．

（1）求m、n的值；
（2）如圖2，點N為拋物線上的一動點，且位于直線BC上方，連接CN、BN．求△NBC面積的最大值；
（3）如圖3，點M、P分別為線段BC和線段OB上的動點，連接PM、PC，是否存在這樣的點P，使△PCM為等腰三角形，△PMB為直角三角形同時成立？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線的解析式為y=﹣ [（x﹣2）2+n]=﹣ （x﹣2）2﹣ n，

∴拋物線的對稱軸為直線x=2，

∵點A和點B為對稱點，

∴2﹣（m﹣2）=2m+3﹣2，解得m=1，

∴A（﹣1，0），B（5，0），

把A（﹣1，0）代入y=﹣ [（x﹣2）2+n]得9+n=0，解得n=﹣9

（2）

解：作ND∥y軸交BC于D，如圖2，

拋物線解析式為y=﹣ [（x﹣2）2﹣9]=﹣ x2+ x+3，

當x=0時，y=3，則C（0，3），

設直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（5，0），C（0，3）代入得 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+3，

設N（x，﹣ x2+ x+3），則D（x，﹣ x+3），

∴ND=﹣ x2+ x+3﹣（﹣ x+3）=﹣ x2+3x，

∴S△NBC=S△NDC+S△NDB= 5ND=﹣ x2+ x=﹣（x﹣ ）2+ ，

當x= 時，△NBC面積最大，最大值為

（3）

解：存在．

∵B（5，0），C（0，3），

∴BC= = ，

當∠PMB=90°，則∠PMC=90°，△PMC為等腰直角三角形，MP=MC，

設PM=t，則CM=t，MB= ﹣t，

∵∠MBP=∠OBC，

∴△BMP∽△BOC，

∴ = = ，即 = = ，解得t= ，BP= ，

∴OP=OB﹣BP=5﹣ = ，

此時P點坐標為（ ，0）；

當∠MPB=90°，則MP=MC，

設PM=t，則CM=t，MB= ﹣t，

∵∠MBP=∠CBO，

∴△BMP∽△BCO，

∴ = = ，即 = = ，解得t= ，BP= ，

∴OP=OB﹣BP=5﹣ = ，

此時P點坐標為（ ，0）；

綜上所述，P點坐標為（ ，0）或（ ，0）．

【解析】（1）利用拋物線的解析式確定對稱軸為直線x=2，再利用對稱性得到2﹣（m﹣2）=2m+3﹣2，解方程可得m的值，從而得到A（﹣1，0），B（5，0），然后把A點坐標代入y=﹣ [（x﹣2）2+n]可求出n的值；（2）作ND∥y軸交BC于D，如圖2，利用拋物線解析式確定C（0，3），再利用待定系數法求出直線BC的解析式為y=﹣ x+3，設N（x，﹣ x2+ x+3），則D（x，﹣ x+3），根據三角形面積公式，利用S△NBC=S△NDC+S△NDB可得S△BCN=﹣ x2+ x，然后利用二次函數的性質求解；（3）先利用勾股定理計算出BC= ，再分類討論：當∠PMB=90°，則∠PMC=90°，△PMC為等腰直角三角形，MP=MC，設PM=t，則CM=t，MB= ﹣t，證明△BMP∽△BOC，利用相似比可求出BP的長，再計算OP后可得到P點坐標；當∠MPB=90°，則MP=MC，設PM=t，則CM=t，MB= ﹣t，證明△BMP∽△BCO，利用相似比可求出BP的長，再計算OP后可得到P點坐標．本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征和二次函數的性質；會運用待定系數法求函數解析式；理解坐標與圖形的性質；掌握相似三角形的判定，能運用相似比計算線段的長或表示線段之間的關系；學會運用分類討論的思想解決數學問題．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質和比例線段的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是a/b=m/n，或寫成a：b=m：n才能正確解答此題．