Question

如圖，在銳角△ABC中，AB=4

2

，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是______．

Answer 1

如圖，在AC上截取AE=AN，連接BE．
∵∠BAC的平分線交BC于點D，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AME與△AMN中，

AE=AN ∠EAM=∠NAM AM=AM

，
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME=MN．
∴BM+MN=BM+ME≥BE．
∵BM+MN有最小值．
當BE是點B到直線AC的距離時，BE⊥AC，
又AB=4

2

，∠BAC=45°，此時，△ABE為等腰直角三角形，
∴BE=4，
即BE取最小值為4，
∴BM+MN的最小值是4．
故答案為：4．