Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位線，點M是邊BC上一點，BM=3，點N是線段MC上的一個動點，連接DN，ME，DN與ME相交于點O．若△OMN是直角三角形，則DO的長是______．

Answer 1

【答案】或．

【解析】由圖可知，在△OMN中，∠OMN的度數是一個定值，且∠OMN不為直角. 故當∠ONM=90°或∠MON=90°時，△OMN是直角三角形. 因此，本題需要按以下兩種情況分別求解.

(1) 當∠ONM=90°時，則DN⊥BC.

過點E作EF⊥BC，垂足為F.(如圖)

∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，

∴∠C=45°，

∵BC=20，

∴在Rt△ABC中， ，

∵DE是△ABC的中位線，

∴，

∴在Rt△CFE中， ， .

∵BM=3，BC=20，FC=5，

∴MF=BC-BM-FC=20-3-5=12.

∵EF=5，MF=12，

∴在Rt△MFE中， ，

∵DE是△ABC的中位線，BC=20，

∴，DE∥BC，

∴∠DEM=∠EMF，即∠DEO=∠EMF，

∴，

∴在Rt△ODE中， .

(2) 當∠MON=90°時，則DN⊥ME.

過點E作EF⊥BC，垂足為F.(如圖)

∵EF=5，MF=12，

∴在Rt△MFE中， ，

∴在Rt△MFE中， ，

∵∠DEO=∠EMF，

∴，

∵DE=10，

∴在Rt△DOE中， .

綜上所述，DO的長是或.

故本題應填寫： 或.