Question

【題目】已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點D、E分別在邊BC、AC上，且BD=CE，AD與BE相交于點F.

（1）求證：△ABD≌△BCE

（2）求證：

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】試題分析：

(1) 要證△ABD≌△BCE，利用△ABC是等邊三角形可以得到，AB=BC，∠ABC=∠BCA. 在這種情況下觀察圖形可知，在待證明的兩個三角形中已經獲得一組對應邊相等和一組對應角相等，再根據已知條件BD=CE，根據SAS即可證明這兩個三角形全等.

(2) 觀察待證明的等式形式可知，AE應為BE和EF的比例中項. 將待證明的等式改寫為比例式后，利用“三點定形法”可以找到一組合適的相似三角形△EBA與△EAF. 觀察這兩個三角形發現：這兩個三角形有一組對應角為公共角；對于另一組對應角∠EBA與∠EAF而言，可以通過第(1)問中的全等三角形和△ABC的性質證明其相等. 利用相似三角形的判定定理即可獲得這組三角形相似，進而證明等式成立.

試題解析：

(1) ∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠ABC=∠BCA，即∠ABD=∠BCE，

∵在△ABD與△BCE中：

，

∴△ABD≌△BCE (SAS).

(2) ∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠BAC，

∵△ABD≌△BCE，

∴∠BAD=∠CBE，

∴∠ABC-∠CBE =∠BAC-∠BAD，

∴∠EBA=∠CAD，即∠EBA=∠EAF，

∵在△EBA與△EAF中：

∠AEB=∠FEA (公共角)，∠EBA=∠EAF，

∴△EBA∽△EAF，

∴，

即AE2=BE·EF.