Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M是x軸下方的拋物線上的一個動點，過點M作MN⊥x軸，交直線BC于點N，求四邊形MBNA的最大面積，并求出點M的坐標；
（3）在拋物線上是否存在一點P，使△BCP為直角三角形？若存在，求出P點坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線解析式為y=a（x﹣1）（x﹣3），

把C（0，3）代入得a（﹣1）（﹣3）=3，解得a=3，

∴拋物線解析式為y=（x﹣1）（x﹣3），即y=x2﹣4x+3

（2）

解：如圖1，設直線BC的解析式為y=kx+b，

把C（0，3），B（3，0）代入得 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，

設M（x，x2﹣4x+3）（1＜x＜3），則N（x，﹣x+3），

∴MN=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+5x，

∴四邊形MBNA的面積=S△ABM+S△ABN= ABMN= 2（﹣x2+5x）=﹣x2+5x=﹣（x﹣ ）2+ ，

當x= 時，四邊形MBNA的面積最大，最大值為 ；

（3）

解：存在．

∵OB=OC，

∴△OBC為等腰直角三角形，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

過B點作PB⊥BC交拋物線于P點，交y軸于Q點，如圖2，則∠CBQ=90°，

∵∠OBQ=45°，

∴△OBQ為等腰直角三角形，

∴OQ=OB=3，

∴Q（0，﹣3），

易得直線BQ的解析式為y=x﹣3，

解方程組 得 或 ，此時P點坐標為（2，﹣1）；

過C點作PC⊥BC交拋物線于P點，如圖3，則∠PCB=90°，

易得直線CQ的解析式為y=x+3，

解方程組 得 或 ，此時P點坐標為（5，8）；

當∠BPC=90°時，如圖4，作PH⊥y軸于H，BF⊥PH于F，

設P（t，t2﹣4t+3），

易證得△CPH∽△PBF，

∴ = ，即 = ，

∴ = ，

整理得t2﹣5t+5=0，解得t1= ，t2= ，此時P點坐標為（ ， ）或（ ， ），

綜上所述，滿足條件的P點坐標為（2，﹣1），（5，8），（ ， ），（ ， ）．

【解析】（1）設交點式y=a（x﹣1）（x﹣3），然后把C點坐標代入求出a即可；（2）如圖1，先利用待定系數法求出直線BC的解析式為y=﹣x+3，設M（x，x2﹣4x+3）（1＜x＜3），則N（x，﹣x+3），則MN=﹣x2+5x，利用三角形面積公式得到四邊形MBNA的面積= ABMN= 2（﹣x2+5x），然后根據二次函數的性質解決問題；（3）先判斷△OBC為等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，討論：過B點作PB⊥BC交拋物線于P點，交y軸于Q點，如圖2，則∠CBQ=90°，判斷△OBQ為等腰直角三角形得到OQ=OB=3，則Q（0，﹣3），易得直線BQ的解析式為y=x﹣3，通過解方程組 得此時P點坐標；過C點作PC⊥BC交拋物線于P點，如圖3，則∠PCB=90°，同樣方法可得易此時P點坐標；當∠BPC=90°時，如圖4，作PH⊥y軸于H，BF⊥PH于F，設P（t，t2﹣4t+3），易證得△CPH∽△PBF，利用相似比得到 = ，于是通過約分整理得到t2﹣5t+5=0，然后解方程求出t即可得到此時P點坐標．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．