Question

【題目】已知：如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，∠B=30°，延長(zhǎng)BA到D，使∠BDC=30°．

（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若AB=2，求DC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC．

∵OB=OC，∠B=30°，

∴∠OCB=∠B=30°，

∴∠COD=∠B+∠OCB=60°，

∵∠BDC=30°，

∴∠BDC+∠COD=90°，DC⊥OC，

∵BC是弦，

∴點(diǎn)C在⊙O上，

∴DC是⊙O的切線，點(diǎn)C是⊙O的切點(diǎn)；

（2）解：∵AB=2，

∴OC=OB= =1，

∵在Rt△COD中，∠OCD=90°，∠D=30°，

∴DC= OC= .

【解析】（1）連接OC，根據(jù)已知易證明∠COD=60°,再利用三角形內(nèi)角和定理求出∠DCO的度數(shù)，即可證得DC⊥OC，根據(jù)切線的判定定理即可證得結(jié)論。
（2）根據(jù)已知求出OC的長(zhǎng)，然后在Rt△COD中，利用解直角三角形求出DC的長(zhǎng)即可。