Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F兩點(diǎn)分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H．

（1）求證： ；

（2）設(shè)EF＝x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ的面積最大?并求其最大值；

（3）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，該矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度沿射線QC勻速運(yùn)動(dòng)(當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng))，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，矩形EFFQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)x＝5時(shí)，S矩形EFPQ有最大值，最大值為20；（3）

【解析】試題分析：（1）本題利用相似三角形的性質(zhì)——相似三角形的對應(yīng)邊上的高之比等于相似比解決；（2）根據(jù)第一問的結(jié)論，即可根據(jù)矩形的面積公式得到關(guān)于矩形EFPQ的面積和x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到矩形的最大面積及對應(yīng)的x的值；（3）此題要理清幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，當(dāng)矩形的面積最大時(shí)，由（2）可知此時(shí)EF=5，EQ=4；易證得△CPF是等腰Rt△，則PC=PF=4，QC=QP+PC=9；
一、P、C重合時(shí)，矩形移動(dòng)的距離為PC（即4），運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4s；
二、E在線段AC上時(shí)，矩形移動(dòng)的距離為9-4=5，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為5s；
三、Q、C重合時(shí)，矩形運(yùn)動(dòng)的距離為QC（即9），運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為9s；
所以本題要分三種情況，分別寫出解析式即可.

試題解析：

（1）∵ 四邊形EFPQ是矩形，∴ EF∥QP．∴ △AEF∽△ABC．

又∵ AD⊥BC，

∴ AH⊥EF,∴

（2）由（1）得，∴ AH＝x．

∴ EQ＝HD＝AD－AH＝8－x，

∴ S矩形EFPQ＝EF·EQ＝x (8－x) ＝－x2＋8 x＝－（x－5）2＋20．

∵ －＜0， ∴ 當(dāng)x＝5時(shí)，S矩形EFPQ有最大值，最大值為20．

（3）如圖1，由（2）

得EF＝5，EQ＝4．

∵∠C＝45°，∴ △FPC是等腰直角三角形．

∴ PC＝FP＝EQ=4，QC＝QP＋PC＝9．

分三種情況討論：① 如圖2．當(dāng)0≤t＜4時(shí)，

設(shè)EF、PF分別交AC于點(diǎn)M、N，則△MFN是等腰直角三角形,

∴ FN＝MF＝t．

∴S＝S矩形EFPQ－SRt△MFN=20－t2＝－t2＋20；

②如圖3，當(dāng)4≤t<5時(shí)，則ME＝5－t，QC＝9－t．

∴ S＝S梯形EMCQ＝ [（5－t）＋（9－t ）]×4＝－4t＋28；

③如圖4，當(dāng)5≤t≤9時(shí)，設(shè)EQ交AC于點(diǎn)K，則KQ=QC＝9－t．

∴ S＝S△KQC= (9－t)2＝ ( t－9)2．

綜上所述：S與t的函數(shù)關(guān)系式為：