Question

【題目】如圖1，已知△ABC中，AB=10cm,AC=8cm,BC=6 cm ,如果點P由B出發沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由A出發沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm /s，連接PQ，設運動的時間為t（單位：s）（0≤t≤4）.解答下列問題：

（1）當t為何值時，PQ∥BC.

（2）是否存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在求出此時t的值；若不存在，請說明理由.

（3）如圖2，把△APQ沿AP翻折，得到四邊形AQPQ′.那么是否存在某時刻t使四邊形AQPQ′為菱形？若存在，求出此時菱形的面積；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當s時，PQ∥BC．（2）不存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分．（3）存在時刻t，使四邊形AQPQ′為菱形，此時菱形的面積為cm2．

【解析】（1）證△APQ∽△ABC，推出=，代入得出=，求出方程的解即可；（2）假設存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，得出方程-t2+6t=××8×6，求出此方程無解，即可得出答案.

（3）首先根據菱形的性質及相似三角形比例線段關系，求得PQ、OD、和PD的長度；然后在Rt△PQD中，根據勾股定理列出方程（8-t）2-（6-t）2=（2t）2，求得時間t的值；最后根據菱形的面積等于△AQP的面積的2倍，進行計算即可.

解：（1）BP=2t，則AP=10﹣2t．

∵PQ∥BC，

∴△APQ∽△ABC，

∴=，

即=，

解得：t=,

∴當t=時，PQ∥BC.

（2）如答圖1所示，過P點作PD⊥AC于點D．

∴PD∥BC，∴，即，解得．

，

假設存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，

則有S△AQP= S△ABC，而S△ABC=ACBC=24，∴此時S△AQP=12．

S△AQP，

∴，化簡得：t2﹣5t+10=0，

∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程無解，

∴不存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分．

（3）假設存在時刻t，使四邊形AQPQ′為菱形，則有AQ=PQ=BP=2t．

如答圖2所示，過P點作PD⊥AC于點D，則有PD∥BC，

∴，即，

解得： ， ，

∴QD=AD﹣AQ= ．

在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，

即，

化簡得：13t2﹣90t+125=0，

解得：t1=5，t2= ，

∵t=5s時，AQ=10cm＞AC，不符合題意，舍去，∴t=．

由（2）可知，S△AQP=

∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×=cm2．

所以存在時刻t，使四邊形AQPQ′為菱形，此時菱形的面積為cm2．

“點睛”本題考查了三角形的面積，勾股定理的逆定理，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用進行推理和計算的能力.解決問題的關鍵是作輔助線構造相似三角形以及直角三角形，根據相似三角形的對應邊成比例以及勾股定理進行列式求解.