Question

如圖，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿過B點的一條直線BE折疊這個三角形，使C點與AB邊上的一點D重合．
（1）當∠A滿足什么條件時，點D恰為AB的中點寫出一個你認為適當的條件，并利用此條件證明D為AB的中點；
（2）在（1）的條件下，若DE=1，求△ABC的面積．

Answer 1

（1）添加條件是∠A=30°．
證明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，
∵C點折疊后與AB邊上的一點D重合，
∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°，
∴∠EBD=30°，
∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；
∵ED為△EAB的高線，所以ED也是等腰△EBA的中線，
∴D為AB中點．

（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．
在Rt△ADE中，根據勾股定理，得AD=

22-1

=

3

，
∴AB=2

3

，∵∠A=30°，∠C=90°，
∴BC=

1

2

AB=

3

．
在Rt△ABC中，AC=

AB2-BC2

=3，
∴S_△ABC=

1

2

×AC×BC=

3 3

2

．