Question

【題目】發現與探索。

（1）根據小明的解答將下列各式因式分解

① a2－12a＋20；②（a－1）2－8（a－1）＋7；③ a2－6ab＋5b2

（2）根據小麗的思考解決下列問題：

①說明：代數式a2－12a＋20的最小值為－16．

②請仿照小麗的思考解釋代數式－（a＋1）2＋8的最大值為8，并求代數式－a2＋12a－8的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①（a－10）（a－2）；②（a－7）（a－3）；③（a－5b）（a－b）；（2）①說明見解析；②﹣a2＋12a－8.的最大值為28.

【解析】（1）①把所給的多項式加上36后再減去36，類比小明的解法，前三項利用完全平方公式因式分解后，再利用平方差公式因式分解即可；②把所給的多項式加上16后再減去16，類比小明的解法，前三項利用完全平方公式因式分解后，再利用平方差公式因式分解即可；③把所給的多項式加上9b2后再減去9b2，類比小明的解法，前三項利用完全平方公式因式分解后，再利用平方差公式因式分解即可；（2）①把所給的多項式化為（a－6）2－16后，根據非負數的性質可得（a－6）2≥0，當x=6時，所給多項式的最小值為-16；②根據非負數的性質可得無論a取何值－（a＋1）2都小于等于0，再加上8，即可得代數式－（a＋1）2＋8小于等于8，所以－（a＋1）2＋8的最大值為8；把所給的多項式化為﹣（a－6）2＋28后，類比上面的解題方法解答即可.

（1）①a2－12a＋20

原式＝a2－12a＋36－36＋20

＝（a－6）2－42

＝（a－10）（a－2）

②（a－1）2－8（a－1）＋12

原式＝（a－1）2－8（a－1）＋16－16＋12

＝（a－5）2－22

＝（a－7）（a－3）

③a2－6ab＋5b2

原式＝a2－6ab＋9b2－9b2＋5b2

＝（a－3b）2－4b2

＝（a－5b）（a－b）

（2）根據小明的發現結合小麗的思考解決下列問題.

①說明：代數式a2－12a＋20的最小值為﹣16.

a2－12a＋20

原式＝a2－12a＋36－36＋20

＝（a－6）2－16

無論a取何值（a－6）2都大于等于0，再加上﹣16，

則代數式（a－6）2－16大于等于－16，

則a2－12a＋20的最小值為－16

②無論a取何值－（a＋1）2都小于等于0，再加上8，

則代數式－（a＋1）2＋8小于等于8，

則－（a＋1）2＋8的最大值為8

﹣a2＋12a－8.

原式＝﹣（a2－12a＋8）

＝﹣（a2－12a＋36－36＋8）

＝﹣（a－6）2＋36－8

＝﹣（a－6）2＋28

無論a取何值﹣（a－6）2都小于等于0，再加上28，

則代數式﹣（a－6）2＋28小于等于28，

則﹣a2＋12a－8的最大值為28.