Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A（ ，0），B（3 ，2），C（0，2）．動點D以每秒1個單位的速度從點O出發(fā)沿OC向終點C運動，同時動點E以每秒2個單位的速度從點A出發(fā)沿AB向終點B運動．過點E作EF⊥AB，交BC于點F，連接DA、DF．設運動時間為t秒．

（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）當t為何值時，AB∥DF；
（3）設四邊形AEFD的面積為S．①求S關于t的函數(shù)關系式；
②若一拋物線y=﹣x2+mx經(jīng)過動點E，當S＜2 時，求m的取值范圍（寫出答案即可）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點B作BM⊥x軸于點M

∵C（0，2），B（3 ，2）

∴BC∥OA

∴∠ABC=∠BAM

∵BM=2，AM=2

∴tan∠BAM=

∴∠ABC=∠BAM=30°

（2）

解：∵AB∥DF

∴∠CFD=∠CBA=30°

在Rt△DCF中，CD=2﹣t，∠CFD=30°，

∴CF= （2﹣t）

∴AB=4，

∴BE=4﹣2t，∠FBE=30°，

∴BF=

∴ （2﹣t）+ = ，

∴t=

（3）

解：①連接DE，過點E作EG⊥x軸于點G，

則EG=t，OG= + t

∴E（ + t，t）

∴DE∥x軸

S=S△DEF+S△DEA= DE×CD+ DE×OD

= ×OC= ×（ ）×2

= + t．

②當S 時，

由①可知，S= + t

∴ t+ ＜2 ，

∴t＜1，

∵t＞0，

∴0＜t＜1，

∵y=﹣x2+mx，點E（ + t，t）在拋物線上，

當t=0時，E（ ，0），

∴m= ，

當t=1時，E（2 ，1），

∴m= ，

∴ ＜m＜

【解析】（1）求∠ABC的度數(shù)即求∠BAx的度數(shù)，過B作BM⊥x軸于M，則AM=2 ，BM=2，由此可得出∠BAM即∠ABC的度數(shù)．（2）當AB∥FD時，∠CFD=∠B=30°，可在直角三角形CDF中，用CD的長表示出CF，同理可在直角三角形FEB中，用BE的長表示出BF，然后可根據(jù)CF+BF=BC來求出t的值．（3）①連接DE，根據(jù)D、E的速度可知AE=2OD，而AE=2EG，因此OD∥=EG，即四邊形ODEG是矩形，因此DE∥x軸，那么四邊形AEFD的面積可分成三角形ADE和三角形EFD兩部分來求出．兩三角形都以DE為底，兩三角形高的和正好是OC的長，因此四邊形ADEF的面積就等于 DEOC，關鍵是求出DE的長．如果過A作DE的垂線不難得出DE=OA+AEsin60°，由此可得出S，t的函數(shù)關系式．
②已知了S的取值范圍可根據(jù)①的函數(shù)關系式求出t的取值范圍．在①題已經(jīng)求得了E點坐標，將其代入拋物線的解析式中，用m表示出t的值，然后根據(jù)t的取值范圍即可求出m的取值范圍．