Question

【題目】已知一次函數y=x+4的圖象與二次函數y=ax（x﹣2）的圖象相交于A（﹣1，b）和B，點P是線段AB上的動點（不與A、B重合），過點P作PC⊥x軸，與二次函數y=ax（x﹣2）的圖象交于點C．

（1）求a、b的值

（2）求線段PC長的最大值；

（3）若△PAC為直角三角形，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）a=1，b=3；（2）當m=時，PC有最大值，最大值為．（3）若△PAC為直角三角形，點P的坐標為P1（2，6），P2（3，7）．

【解析】

試題分析：（1）根據自變量與函數值的對應關系，可得b，根據待定系數法，可得a；

（2）根據平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案；

（3）根據勾股定理，可得AP，CP的長，根據勾股定理的逆定理，可得關于m的方程，根據解方程，可得m的值，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案．

解：（1）∵A（﹣1，b）在直線y=x+4上，

∴b=﹣1+4=3，

∴A（﹣1，3）．

又∵A（﹣1，3）在拋物線y=ax（x﹣2）上，

∴3=﹣a（﹣1﹣2），

解得：a=1．

（2）設P（m，m+4），則C（m，m2﹣2m）．

∴PC=（m+4）﹣（m2﹣2m）

=﹣m2+3m+4

=﹣（m﹣）2+，

∵（m﹣）2≥0，

∴﹣（m﹣）2+≤．

∴當m=時，PC有最大值，最大值為．

（3）如圖

，

P（m，m+4），C（m，m2﹣2m），

AP2=（m+1）2+（m+4﹣3）2=2（m+1）2，AC2=（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2，PC2=（﹣m2+3m+4）2．

①當AP2+AC2=PC2時，即2（m+1）2+（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2=（﹣m2+3m+4）2，

3（m+1）2+[（m2﹣2m﹣3）2﹣（﹣m2+3m+4）2]=0

化簡，得（m+1）（m+1）（m﹣2）=0，

解得m=﹣1（不符合題意，舍），m=2，

當m=2時，m+4=6，即P（2，6）；

②當AP2=AC2+PC2時，即2（m+1）2=（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2+（﹣m2+3m+4）2，

化簡，得

（m﹣4）（m+1）（m+1）（m﹣3）=0．

解得m=4（不符合題意，舍），m=﹣1（不符合題意，舍），m=3，

當m=3時，m+4=7，

即（3，7），

綜上所述：若△PAC為直角三角形，點P的坐標為P1（2，6），P2（3，7）．