Question

【題目】已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，點P從點A開始沿AD邊向點D以1cm/秒的速度移動，點Q從點C開始沿CB邊向點B以2cm/秒的速度移動．如果P、Q分別從A、C同時出發．設移動的時間為t．

求：（1）t為何值時，梯形PQCD是等腰梯形；

（2）t為何值時，AB的中點E到線段PQ的距離為7cm．

Answer 1

【答案】(1)8秒；（2）t＝3.5或t=7

【解析】試題分析：（1）過P作PN⊥BC于N，過D作DM⊥BC于M，先證明四邊形ABMD是矩形，從而得到AD=BM，再根據邊與邊之間的關系，列一元一次方程3t﹣21=3，得到t=8，即t=8秒時，梯形PQCD是等腰梯形；

（2）在Rt△PQM中，表示出PM=14，QM=3t﹣1，然后根據PM2+QM2=PQ2，得到142+（3t﹣21）2=（21﹣t）2，求得t值即可．

試題解析：

如圖1，過P作PN⊥BC于N，過D作DM⊥BC于M，

∵AD∥BC，∠B=90°，DM⊥BC，

∴四邊形ABMD是矩形，AD=BM．

∴MC=BC﹣BM=BC﹣AD=3．

又∵QN=BN﹣BQ=AP﹣BQ=t﹣（21﹣2t）=3t﹣21．

若梯形PQCD為等腰梯形，則QN=MC=3．

得3t﹣21=3，t=8，

即t=8秒時，梯形PQCD是等腰梯形．

（2）如圖2，過E作EF⊥PQ于F，連接PE，EQ，當EF=7cm時，

∵AE=BE=AB=×14=7cm，

∴AE=EF=BE，

∵AD∥BC，∠B=90°，

∴∠A=90°，

∵PE=PE，EQ=EQ，

∴△AEP≌△FEP，△BEQ≌△FEQ，

∴PA=PF=t，BQ=FQ=21﹣2t，

∴PQ=PF+FQ=21﹣t，

在Rt△PQM中，PM=14，QM=3t﹣1，

∵PM2+QM2=PQ2，

∴142+（3t﹣21）2=（21﹣t）2，

解得：t=3.5或t=7，

∴當t為3.5或7時，AB的中點E到線段PQ的距離為7cm．