Question

【題目】如圖，拋物線l1：y=x2﹣4的圖象與x軸交于A，C兩點，拋物線l2與l1關于x軸對稱．

（1）直接寫出l2所對應的函數表達式；
（2）若點B是拋物線l2上的動點（B與A，C不重合），以AC為對角線，A，B，C三點為頂點的平行四邊形的第四個頂點為D，求證：D點在l2上．
（3）當點B位于l1在x軸下方的圖象上，平行四邊形ABCD的面積是否存在最大值和最小值？若存在，判斷它是何種特殊平行四邊形，并求出它面積的最值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵l1與x軸的交點A（﹣2，0），C（2，0），頂點坐標是（0，﹣4），l1與l2關于x軸對稱，

∴l2過A（﹣2，0），C（2，0），頂點坐標是（0，4），

設y=ax2+4，

則4a+4=0，

解得a=﹣1，

∴l2的解析式為y=﹣x2+4；

（2）

解：設B（x1，y1），

∵點B在l1上，

∴B（x1，x12﹣4），

∵四邊形ABCD是平行四邊形，A、C關于O對稱，

∴B、D關于O對稱，

∴D（﹣x1，﹣x12+4），

將D（﹣x1，﹣x12+4）的坐標代入l2：y=﹣x2+4，

∴左邊=右邊，

∴點D在l2上；

（3）

解：當y=0時，﹣x2+4=0，

解得：x1=2，x2=﹣2，

所以AC=4，

則SABCD=AC（﹣yB）=﹣4x2+16，

當x=0時，SABCD取得最大值16，

∵當點B在x軸下方時，﹣4≤y1＜0，

∴S=﹣4y1，它是關于y1的正比例函數且S隨y1的增大而減小，

∴當y1=﹣4時，S有最大值16，但它沒有最小值，

此時B（0，﹣4）在y軸上，它的對稱點D也在y軸上，

∴AC⊥BD，

∴平行四邊形ABCD是菱形

【解析】（1）根據拋物線l1的解析式求出點A、C的坐標，以及頂點坐標，再根據關于x軸對稱的點的橫坐標不變，縱坐標互為相反數，求出l2的頂點坐標，然后利用待定系數法求出l2的解析式；（2）設點B的坐標為（x1 ， x12﹣4），根據平行四邊形的性質和關于原點對稱的點的橫坐標與縱坐標都互為相反數求出點D的坐標，代入解析式即可證明：點D在l2上；（3）首先表示出S的值，當點B在x軸下方時，﹣4≤y1＜0，根據一次函數的增減性判斷出點B的位置，再根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形證明，并求出S最大=16．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．