Question

【題目】已知如圖1，P為正方形ABCD的邊BC上任意一點，BE⊥AP于點E，在AP的延長線上取點F，使EF=AE，連接BF，∠CBF的平分線交AF于點G．

（1）求證：BF=BC；

（2）求證：△BEG是等腰直角三角形；

（3）如圖2，若正方形ABCD的邊長為4，連接CG，當P點為BC的中點時，求CG的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；92）證明見解析；（3）

【解析】（1）利用線段的垂直平分線的性質以及正方形的性質即可證明；

（2）想辦法證明∠F=∠BAF=∠EBP，由∠EBG=∠EBP+∠PBG，∠EGB=∠F+∠GBF，即可解決問題；

（3）求出BG，只要證明△EBP≌△GCP，即可推出CG=BE，由此即可解決問題.

解：（1）證明：∵BE⊥AP，AE=EF，

∴BE垂直平分線段AF，

∴AB=BF，

在正方形ABCD中，AB=BC，

∴BF=BC；

（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠EBP=90°，

∵BE⊥AF，

∴∠ABE+∠BAP=90°，

∴∠BAP=∠EBP，

∵AB=BF∴∠BAP=∠BFP，

∴∠EBP=∠BFP，

∵∠CBF的平分線交AF于點G，

∴∠CBG=∠FBG，

∴∠EBP+∠CBG=∠BFP+∠FBG，

∴∠EBG=∠EGB，

∵BE⊥AF，

∴△BEG是等腰直角三角形．

（3）解：∵P是BC的中點，正方形的邊長為4，

∴AB=4，BP=CP=2，

∵在Rt△ABP中，

∴AP=，

∵BE⊥AP，

∴S△ABP=，

解得：BE=，

∵AB=BC，AB=BF，

∴BC=BF，

由（1）可知∠CBG =∠FBG，

∴BG=BG，

∴△CBG≌△FBG，

∴∠BFP=∠BCG，

由（2）可知∠EBP=∠BFP，

∴∠EBP =∠BCG∵∠EPB =∠CPG，

∴△EBP≌△GCP，

∴CG=BE=．

“點睛”本題考查正方形到現在、全等三角形的判定和性質、相等的垂直平分線的性質、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題.