Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°．點E、F同時從B點出發，沿射線BC向右勻速移動，已知F點移動速度是E點移動速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊△EFG，設E點移動距離為x（x＞0）．

（1）△EFG的邊長是（用含有x的代數式表示），當x=2時，點G的位置在；
（2）若△EFG與梯形ABCD重疊部分面積是y，求y與x之間的函數關系式；
（3）探究（2）中得到的函數y在x取何值時，存在最大值？并求出最大值．

Answer 1

【答案】
（1）x；D
（2）

解：①當0＜x≤2時，△EFG在梯形ABCD內部，所以y= x2；

②分兩種情況：

Ⅰ．當2＜x＜3時，如圖1，點E、點F在線段BC上，

△EFG與梯形ABCD重疊部分為四邊形EFNM，

∵∠FNC=∠FCN=30°，∴FN=FC=6﹣2x．∴GN=3x﹣6．

∵在Rt△NMG中，∠G=60°，GN=3x﹣6，

∴GM= （3x﹣6），

由勾股定理得：MN= （3x﹣6），

∴S△GMN= ×GM×MN= × （3x﹣6）× （3x﹣6）= （3x﹣6）2，

所以，此時y= x2﹣ （3x﹣6）2=﹣ ；

Ⅱ．當3≤x≤6時，如圖2，點E在線段BC上，點F在射線CH上，

△EFG與梯形ABCD重疊部分為△ECP，

∵EC=6﹣x，

∴y= （6﹣x）2= x2﹣ x+ ，

Ⅲ．當x＞6時，點E，F都在線段BC的延長線上，沒公共部分，

∴y=0

（3）

解：當0＜x≤2時，

∵y= x2，在x＞0時，y隨x增大而增大，

∴x=2時，y最大= ；

當2＜x＜3時，∵y=﹣ 在x= 時，y最大= ；

當3≤x≤6時，∵y= ，在x＜6時，y隨x增大而減小，

∴x=3時，y最大= ．

綜上所述：當x= 時，y最大= ．

【解析】解：（1）∵點E、F同時從B點出發，沿射線BC向右勻速移動，且F點移動速度是E點移動速度的2倍，
∴BF=2BE=2x，
∴EF=BF﹣BE=2x﹣x=x，
∴△EFG的邊長是x；
過D作DH⊥BC于H，得矩形ABHD及直角△CDH，連接DE、DF．
在直角△CDH中，∵∠C=30°，CH=BC﹣AD=3，
∴DH=CHtan30°=3× 當x=2時，BE=EF=2，
∵△EFG是等邊三角形，且DH⊥BC交點H，
∴EH=HF=1
∴DE=DF= =2，
∴△DEF是等邊三角形，
∴點G的位置在D點．
故答案為x，D點；

（1）根據等邊三角形的三邊相等，則△EFG的邊長是點E移動的距離；根據等邊三角形的三線合一和F點移動速度是E點移動速度的2倍，即可分析出BF=4，此時等邊三角形的邊長是2，則點G和點D重合；（2）①當0＜x≤2時，重疊部分的面積即為等邊三角形的面積；②當2＜x≤6時，分兩種情況：當2＜x＜3時和當3≤x≤6時及x＞6，進行計算；（3）分別求得（2）中每一種情況的最大值，再進一步比較取其中的最大值即可．