Question

【題目】已知，如圖，在四邊形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），動點P從點O出發，沿著x軸正方向以每秒2個單位長度的速度移動，過點P作PQ垂直于直線OA，垂足為點Q，設點P移動的時間t秒（0＜t＜2），△OPQ與四邊形OABC重疊部分的面積為S．

（1）求經過O、A、B三點的拋物線的解析式，并確定頂點M的坐標；
（2）用含t的代數式表示點P、點Q的坐標；
（3）求出S與t的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線解析式為y=ax2+bx（a≠0），

把點A（1，﹣1），B（3，﹣1）代入得，

，

解得： ，

故拋物線解析式為y= x2﹣ x

（2）

解：∵點P從點O出發速度是每秒2個單位長度，

∴OP=2t，

∴點P的坐標為（2t，0），

∵A（1，﹣1），

∴∠AOC=45°，

∴點Q到x軸、y軸的距離都是 OP= ×2t=t，

∴點Q的坐標為（t，﹣t）

（3）

解：如圖，點Q與點A重合時，

OP=1×2=2，t=2÷2=1，

點P與點C重合時，OP=3，t=3÷2=1.5，

t=2時，OP=2×2=4，PC=4﹣3=1，此時PQ經過點B，

所以，分三種情況討論：

①0＜t≤1時，重疊部分的面積等于△POQ的面積，S= ×（2t）× =t2，

②1＜t≤1.5時，重疊部分的面積等于兩個等腰直角三角形的面積的差，

S=S△OP′Q′﹣S△AEQ′= ×（2t）× ﹣ ×（ t﹣ ）2=2t﹣1；

③1.5＜t＜2時，重疊部分的面積等于梯形的面積減去一個等腰直角三角形的面積

S=S梯形OABC﹣S△BGF= ×（2+3）×1﹣ ×[1﹣（2t﹣3）]2=﹣2（t﹣2）2+ ；

所以，S與t的關系式為S= ．

【解析】（1）設拋物線解析式為y=ax2+bx（a≠0），然后把點A、B的坐標代入求出a、b的值，即可得解，再把函數解析式整理成頂點式形式，然后寫出頂點M的坐標；（2）根據點P的速度求出OP，即可得到點P的坐標，再根據點A的坐標求出∠AOC=45°，然后判斷出△POQ是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出點Q的坐標即可；（3）求出點Q與點A重合時的t=1，點P與點C重合時的t=1.5，t=2時PQ經過點B，然后分①0＜t≤1時，重疊部分的面積等于△POQ的面積，②1＜t≤1.5時，重疊部分的面積等于兩個等腰直角三角形的面積的差，③1.5＜t＜2時，重疊部分的面積等于梯形的面積減去一個等腰直角三角形的面積分別列式整理即可得解．
【考點精析】利用二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．