Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，O為AC中點，過O點的直線分別于AB、CD交于E、F，連結BF交AC與點M，連結DE、BO，若∠COB=60°，FO=FC

求證：①FB⊥OC，OM=CM；

②四邊形EBFD是菱形；

③MB：OE=3：2．

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

①根據已知得出△OBF≌△CBF，可求得△OBF與△CBF關于直線BF對稱，進而求得FB⊥OC，OM=CM；

②先證得∠ABO=∠OBF=30°，再證得OE=OF，進而證得OB⊥EF，因為BD、EF互相平分，即可證得四邊形EBFD是菱形．

③根據三角函數求得MB=，OF=，根據OE=OF即可求得MB：OE=3：2．

證明：①連接BD，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，AC、BD互相平分，

∵O為AC中點，

∴BD也過O點，

∴OB=OC，

∵∠COB=60°，OB=OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，

在△OBF與△CBF中

,

∴△OBF≌△CBF（SSS），

∴△OBF與△CBF關于直線BF對稱，

∴FB⊥OC，OM=CM；

②∵∠OBC=60°，

∴∠ABO=30°，

∵△OBF≌△CBF，

∴∠OBM=∠CBM=30°，

∴∠ABO=∠OBF，

∵AB∥CD，

∴∠OCF=∠OAE，

∵OA=OC，

易證△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∴OB⊥EF，

∴四邊形EBFD是菱形，

③∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，

∴MB=，OF=，

∵OE=OF，

∴MB：OE=3：2，