Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中點，F是AC延長線上一點．

（1）若ED⊥EF，求證：ED=EF；

（2）在（1）的條件下，若DC的延長線與FB交于點P，試判定四邊形ACPE是否為平行四邊形？并證明你的結論（請先補全圖形，再解答）；

（3）若ED=EF，ED與EF垂直嗎？若垂直給出證明．

Answer 1

【答案】答案見解析.

【解析】

試題（1）根據平行四邊形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，連接CE，根據全等三角形的判定和性質即可得到結論；

（2）根據全等三角形的性質得到CF=AD，等量代換得到AC=CF，于是得到CP=AB=AE，根據平行四邊形的判定定理即可得到四邊形ACPE為平行四邊形；

（3）過E作EM⊥DA交DA的延長線于M，過E作EN⊥FC交FC的延長線于N，證得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根據全等三角形的性質即可得到結論．

試題解析：（1）在ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，連接CE，

∵E是AB的中點，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，

∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，

在△CEF和△AED中，∵∠CEF=∠AED，EC=AE，∠ECF=∠EAD，∴△CEF≌△AED，

∴ED=EF；

（2）由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF，

∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP=AB=AE，∴四邊形ACPE為平行四邊形；

（3）垂直，理由：過E作EM⊥DA交DA的延長線于M，過E作EN⊥FC交FC的延長線于N，在△AME與△CNE中，∵∠M=∠FNE=90°，∠EAM=∠NCE=45°，AE=CE，

∴△AME≌△CNE，∴∠ADE=∠CFE，

在△ADE與△CFE中，∵∠ADE=∠CFE，∠DAE=∠FCE=135°，DE=EF，

∴△ADE≌△CFE，∴∠DEA=∠FEC，

∵∠DEA+∠DEC=90°，∴∠CEF+∠DEC=90°，∴∠DEF=90°，∴ED⊥EF．