Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點E．

（1）求證：ABAF=CBCD；

（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是線段DE上的動點．設DP=x cm，梯形BCDP的面積為y．

①求y關于x的函數關系式．

②y是否存在最大值？若有求出這個最大值，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明詳見解析；(1)①y=3x+27；②存在，當x=時，y有最大值，此時y=．

【解析】

試題分析：（1）先根據AD=CD，DE⊥AC判斷出DE垂直平分AC，再由線段垂直平分線的性質及直角三角形的性質可得出∠DCF=∠DAF=∠B，在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B可知△DCF∽△ABC，由相似三角形的對應邊成比例即可得出答案；

（2）①先根據勾股定理求出AC的長，再由梯形的面積公式即可得出x、y之間的函數關系式；

②由EF∥BC，得△AEF∽△ABC，由相似三角形的對應邊成比例可求出AB、EF的長，進而可得出△AEF∽△DEA及DF的長，根據DE=DF+FE可求出DE的長，由①中的函數關系式即可得出結論．

試題解析：（1）∵AD=CD，DE⊥AC，

∴DE垂直平分AC，

∴AF=CF，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF．

∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，

∴∠DCF=∠DAF=∠B．

在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B，

∴△DCF∽△ABC．

∴，即，

∴ABAF=CBCD；

（2）解：連接PB，

①∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°，

∴AC==12，

∴CF=AF=6．

∴y=（x+9）×6=3x+27；

②由EF∥BC，得△AEF∽△ABC．

AE=BE=AB=，EF=．

由∠EAD=∠AFE=90°，∠AEF=∠DEA，得△AEF∽△DEA．

Rt△ADF中，AD=CD==10，AF=6，

∴DF=8．

∴DE=DF+FE=8+=．

∵y=3x+27（0≤x≤），函數值y隨著x的增大而增大，

∴當x=時，y有最大值，此時y=．