Question

閱讀材料：
如圖1，過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫△ABC的“鉛垂高（h）”．我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：S△ABC=

1

2

ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．
解答下列問(wèn)題：
如圖2，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C（-1，-4），交x軸于點(diǎn)A（-3，0），交y軸于點(diǎn)B．
（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2）點(diǎn)P是拋物線（在第三象限內(nèi)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí)，求△CAB的鉛垂高CD及S_△CAB；
（3）是否存在一點(diǎn)P，使S_△PAB=S_△CAB，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，可設(shè)出拋物線頂點(diǎn)解析式，代入A點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出拋物線的解析式；利用拋物線的解析式，得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合A點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出直線AB的解析式；
（2）當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，此時(shí)鉛直高為點(diǎn)C縱坐標(biāo)；又可得出AB的距離，即可得出△CAB的面積；
（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P 橫坐標(biāo)為x，鉛直高為H，結(jié)合題意，可用含x的代數(shù)式表示出，利用條件S_△PAB=S_△CAB，即可得出x的值，代入可得出P的縱坐標(biāo)，并適當(dāng)取舍．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y₁=a（x+1）²-4．
把A（-3，0）代入解析式，解得a=1．
∴拋物線的表達(dá)式為y₁=（x+1）²-4=x²+2x-3；
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3）．（3分）
設(shè)直線AB的表達(dá)式為y₂=kx+b．
把A（-3，0），B（0，-3）待入，得

-3k+b=o b=-3

解得k=-1，b=-3．
∴直線AB的表達(dá)式為y₂=-x-3．（4分）

（2）因?yàn)辄c(diǎn)C坐標(biāo)為（-1，-4），
∴當(dāng)x=-1時(shí)，y₁=-4，y₂=-2．
∴CD=-2-（-4）=2．（5分）
S△ABC=

1

2

OA•CD=

1

2

×3×2=3．（6分）

（3）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（-3＜x＜0），
△PAB的鉛垂高為H．則H=y₂-y₁=（-x-3）-（x²+2x-3）=-x²-3x．（7分）
由S_△PAB=S_△CAB，得

1

2

×3×(-x2-3x)=3．
化簡(jiǎn)得：x²+3x+2=0．解得x₁=-2，x₂=-1．（9分）
將x=-2代入y₁=x²+2x-3 中，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-3）．
將x=-1代入y₁=x²+2x-3 中，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4）與頂點(diǎn)C重合．
所以還存在點(diǎn)P（-2，-3），滿足條件．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及三角形面積等知識(shí)點(diǎn)，有一定的綜合性和難度，學(xué)生在做題目時(shí)要認(rèn)真分析和理解題目所給條件，即可完成題目．