Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AP交x軸于點P（p，0），交y軸于點A（0，a），且a、p滿足．

（1）求直線AP的解析式；

（2）如圖1，點P關于y軸的對稱點為Q，R（0，2），點S在直線AQ上，且SR=SA，求直線RS的解析式和點S的坐標；

（3）如圖2，點B（﹣2，b）為直線AP上一點，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，點C在第一象限，D為線段OP上一動點，連接DC，以DC為直角邊，點D為直角頂點作等腰三角形DCE，EF⊥x軸，F為垂足，下列結論：①2DP+EF的值不變；②的值不變；其中只有一個結論正確，請你選擇出正確的結論，并求出其定值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣3x﹣3；（2）S（，﹣）， y=﹣3x+2；（3）②；定值為．

【解析】

（1）根據非負數的性質列式求出a、p的值，從而得到點A、P的坐標，然后利用待定系數法求直線的解析式；

（2）根據關于y軸的點的對稱求出點Q的坐標，再利用待定系數法求出直線AQ的解析式，設出點S的坐標，然后利用兩點間的距離公式列式進行計算即可求出點S的坐標，再利用待定系數法求解直線RS的解析式；

（3）根據點B的橫坐標為-2，可知點P為AB的中點，然后求出點B得到坐標，連接PC，過點C作CG⊥x軸于點G，利用角角邊證明△APO與△PCG全等，根據全等三角形對應邊相等可得PG=AO，CG=PO，再根據△DCE是等腰直角三角形，利用角角邊證明△CDG與△EDF全等，根據全等三角形對應邊相等可得DG=EF，然后用EF表示出DP的長度，然后代入兩個結論進行計算即可找出正確的結論并得到定值．

（1）根據題意得，a+3=0，p+1=0，

解得a=﹣3，p=﹣1，

∴點A、P的坐標分別為A（0，﹣3）、P（﹣1，0），

設直線AP的解析式為y=mx+n，

則，

解得，

∴直線AP的解析式為y=﹣3x﹣3；

（2）根據題意，點Q的坐標為（1，0），

設直線AQ的解析式為y=kx+c，

則，

解得，

∴直線AQ的解析式為y=3x﹣3，

設點S的坐標為（x，3x﹣3），

則SR=，

SA=，

∵SR=SA，

∴=，

解得x=，

∴3x﹣3=3×﹣3=﹣，

∴點S的坐標為S（，﹣），

設直線RS的解析式為y=ex+f，

則，

解得，

∴直線RS的解析式為y=﹣3x+2；

（3）∵點B（﹣2，b），

∴點P為AB的中點，

連接PC，過點C作CG⊥x軸于點G，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴PC=PA=AB，PC⊥AP，

∴∠CPG+∠APO=90°，∠APO+∠PAO=90°，

∴∠CPG=∠PAO，

在△APO與△PCG中，

，

∴△APO≌△PCG（AAS），

∴PG=AO=3，CG=PO，

∵△DCE是等腰直角三角形，

∴CD=DE，∠CDG+∠EDF=90°，

又∵EF⊥x軸，

∴∠DEF+∠EDF=90°，

∴∠CDG=∠DEF，

在△CDG與△EDF中，

，

∴△CDG≌△EDF（AAS），

∴DG=EF，

∴DP=PG﹣DG=3﹣EF，

①2DP+EF=2（3﹣EF）+EF=6﹣EF，

∴2DP+EF的值隨點D的變化而變化，不是定值，

②，

的值與點D的變化無關，是定值．