Question

【題目】如圖，PA、PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D．若PA、PB的長是關于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0的兩個根，求△PCD的周長．

Answer 1

【答案】解：∵PA、PB的長是關于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0的兩個根，
∴PA+PB=m，PAPB=m﹣1，
∵PA、PB切⊙O于A、B兩點，
∴PA=PB=，
即=m﹣1，
即m2﹣4m+4=0，
解得：m=2，
∴PA=PB=1，
∵PA、PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，
∴AD=ED，BC=EC，
∴△PCD的周長為：PD+CD+PC=PD+DE+EC+PC=PD+AD+BC+PC=PA+PB=2．
【解析】由PA、PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，根據切線長定理，可得PA=PB，又由PA、PB的長是關于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0的兩個根，根據根與系數的關系，可求得PA與PB的長，又由CD切⊙O于點E，即可得△PCD的周長等于PA+PB．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的性質定理的相關知識，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．