Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．

（1）填空：∠BAD與∠ACB的數量關系為；
（2）求 的值；
（3）將△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如圖2），連接BA′，與CD相交于點P．若CD= ，求PC的長．

Answer 1

【答案】
（1）∠BAD+∠ACB=180°
（2）

解：如圖1中，作DE∥AB交AC于E．

∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，

∵OB=OD，

∴△OAB≌△OED，

∴AB=DE，OA=OE，設AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，

∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，

∴∠EDA=∠ACB，

∵∠DEA=∠CAB，

∴△EAD∽△ABC，

∴ = = = ，

∴ = ，

∴4y2+2xy﹣x2=0，

∴（ ）2+ ﹣1=0，

∴ = （負根已經舍棄），

∴ = ．

（3）

解：如圖2中，作DE∥AB交AC于E．

由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，

∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，

∴DE∥CA′∥AB，

∴∠ABC+∠A′CB=180°，

∵△EAD∽△ACB，

∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，

∴∠DA′C+∠A′CB=180°，

∴A′D∥BC，

∴△PA′D∽△PBC，

∴ = = ，

∴ = ，即 =

∵CD= ，

∴PC=1．

【解析】解：（1.）如圖1中，

在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，
又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB，
∴∠BAD+∠ACB=180°，
所以答案是∠BAD+∠ACB=180°．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．