Question

【題目】已知∠AOB為銳角，如圖（1）．
（1）若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠MON=32°，∠COD=10°，如圖（2）所示，求∠AOB的度數．
（2）若OM，OD，OC，ON是∠AOB的五等分線，如圖（3）所示，以射線OA，OM，OD，OC，ON，OB為始邊的所有角的和為980°，求∠AOB的度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，

∴∠AOM=∠COM，

同理：∠BON=∠DON，

∵∠MON=32°，∠COD=10°，∠MON=∠CON+∠DON﹣∠COD，

∴32°=∠COM+∠DON﹣10°，

∴∠COM+∠DON=42°，

∴∠AOM+∠BON=42°，

∵∠AOB=∠AOM+∠BON+∠MON，

∴∠AOB=42°+32°=74°

（2）解：設∠AOB被五等分的每個角為x°，則∠AOB=5x°，

以射線OA為始邊的所有角的度數為x°+2x°+3x°+4x°+5x°=15x°，

以射線OM，OD，OC，ON，OB為始邊的所有角的度數分別為11x°，9x°，9x°11x°，15x°，

由題意得15x+11x+9x+9x+11x+15x=980，

解得x=14．

故∠AOB=5×14°=70°

【解析】（1）根據角平分線的定義容易得到，∠MON=∠CON+∠DON﹣∠COD，根據已知條件求得∠COM+∠DON=42°，即可求得∠AOM+∠BON=42°，從而求得∠AOB=∠AOM+∠BON+∠MON=74．（2）設∠AOB被五等分的每個角為x°，則∠AOB=5x°，分別表示出以射線OA、OM、OD、OC、ON、OB為始邊的所有角的度數，根據題意列出關于x的方程，解方程求得x的值，即可求得∠AOB的度數．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解角的平分線的相關知識，掌握從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線，以及對角的運算的理解，了解角之間可以進行加減運算；一個角可以用其他角的和或差來表示．