Question

【題目】如圖，已知點A、B分別在x軸、y軸上，AB=12，∠OAB=30°，經過A、B的直線l以每秒1個單位的速度向下作勻速平移運動，與此同時，點P從點B出發，在直線l上以每秒1個單位的速度沿直線l向右下方向作勻速運動．設它們運動的時間為t秒．

（1）直接寫出A、B點坐標是A點 ，B點 ；
（2）用含t的代數式求出表示點P的坐標；
（3）過O作OC⊥l于C，過C作CD⊥x軸于D，問：t為何值時，以P為圓心、1為半徑的圓與直線OC相切？并寫出此時⊙P與直線CD的位置關系．

Answer 1

【答案】（1）(6，0)， (0，6)；；（2）（ t，6-t），（3）t=或時⊙P和OC相切，t=時⊙P和直線CD相離，當t=時⊙P和直線CD相交．

【解析】

（1）根據Rt△OAB中，根據“30°所對的直角邊是斜邊的一半”求得OB=6；然后利用勾股定理求得OA=6，從而求得點A、B的坐標；

（2）結合題意，利用解直角三角形的知識進行求解；

（3）此題應分作兩種情況考慮：

①當P位于OC左側，⊙P與OC第一次相切時，易證得∠COB=∠BAO=30°，設直線l與OC的交點為M，根據∠BOC的度數，即可求得B′M、PM的表達式，而此時⊙P與OC相切，可得PM=1，由此可列出關于t的方程，求得t的值，進而可判斷出⊙P與CD的位置關系；

②當P位于OC右側，⊙P與OC第二次相切時，方法與①相同．

（1）在Rt△OAB中，AB=12，∠OAB=30°，

∴OB=6，

OA=6，

∴A(6，0)，B(0，6)；

（2）作PF⊥y軸于F．

∵∠BAO=30°．

∴在直角三角形PFB′中，PB′=t，∠B′PF=30°，

則B′F=，PF=t．

又BB′=t，

∴OF=OB-BB′-B′F=6-t-=6-，

則P點的坐標為（t，6-）．

（3）此題應分為兩種情況：

①當⊙P和OC第一次相切時，

設直線B′P與OC的交點是M．

根據題意，知∠BOC=∠BAO=30°．

則B′M=OB′=3-，

∵PB′=t

∴PM=B′M-PB′=3-．

根據直線和圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑，得

3-=1，t=．

此時⊙P與直線CD顯然相離；

②當⊙P和OC第二次相切時，

則有-3=1，t=．

此時⊙P與直線CD顯然相交．

答：當t=或時⊙P和OC相切，t=時⊙P和直線CD相離，當t=時⊙P和直線CD相交．