Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=15cm，點O在中線CD上，設OC=xcm，當半徑為3cm的⊙O與△ABC的邊相切時，x= ．

Answer 1

【答案】2 ，3 或6
【解析】解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°，AB=10 ，
∵CD為中線，
∴CD=AD=BD= AB=5 ，
∴∠BDC=∠BCD=∠B=60°，∠ACD=∠A=30°，
∵半徑為3cm的⊙O，
∴DE=3，
①當⊙O與AB相切時，
如圖1，

過點O做OE⊥AB于E，
在RT△ODE中，∠BDC=60°，DE=3，
∴sin∠BDC= ，
∴OD= = =2 ；
∴x=OC=CD﹣OD=5 ﹣2 =3 ；
②當⊙O與BC相切時，
如圖2，

過O作OE⊥BC，
在RT△OCE中，∠BCD=60°，OE=3，
∴sin∠BCD= ，
∴OC= = =2 cm；
∴x=OC=2 ；
③當⊙O與AC相切時，
如圖3，

過O作OE⊥AC于E，
在RT△OCE中，∠ACD=30°，OE=3，
∴sin∠ACD= ，
∴OC= = =6，
∴x=OC=6．
所以答案是2 ，3 或6．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解含30度角的直角三角形的相關知識，掌握在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半，以及對切線的性質定理的理解，了解切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．