Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C，使DC=BD，連結(jié)AC，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E。

(1)求證：DE為⊙O的切線；
(2)若⊙O的半徑為5，∠BAC=60°，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

(1)見解析(2)

(1)證明：如圖D2-2，連結(jié)OD．
∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC．                     
∴∠0DE=∠CED．                                     
又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切線．                               
(2)解：∵OD∥AC，∠BAC=60°，∴∠BOD=∠BAC=60°，
∠C=∠0DB．                                       
又∵OB=OD，∴△BOD是等邊三角形．                  
∴∠C=∠ODB=60°，CD=BD=5．                     
∵DE⊥AC，∴DE=CD·sin∠C =5×sin60°=．  
（1）連接OD，根據(jù)OA=OB，CD=BD，得出OD∥AC，∠0DE=∠CED，再根據(jù)DE⊥AC，即可證出OD⊥DE，從而得出答案；
（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論，可以證明△BOD是等邊三角形，即可求得CD和BD的長(zhǎng)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可計(jì)算DE的長(zhǎng)．