Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D是直線AB上的一動點（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直線AC于F

（1）點D在邊AB上時，試探究線段BD、AB和AF的數量關系，并證明你的結論；

（2）點D在AB的延長線或反向延長線上時，（1）中的結論是否成立？若不成立，請寫出正確結論并證明。

Answer 1

【答案】（1）AB=AF+BD，證明詳見解析；（2）不成立，點D在AB的延長線上時，AB=AF-BD；點D在AB的反向延長線上時，AB=BD-AF，證明詳見解析.

【解析】

（1）根據已知條件易證△FAB≌△DAC，由全等三角形的性質可得FA=DA，由此即可證得AB=AD+BD=FA+BD；（2）由于點D的位置在變化，因此線段AF、BD、AB之間的大小關系也會相應地發生變化，只需畫出圖象并借鑒（1）中的證明思路就可解決問題．

（1）AB=FA+BD．

證明：如圖，

∵BE⊥CD即∠BEC=90°，∠BAC=90°，

∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°．

∴∠FBA=∠FCE．

∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，

∴∠FAB=∠DAC．

在△FAB和△DAC中，．

∴△FAB≌△DAC（ASA）．

∴FA=DA．

∴AB=AD+BD=FA+BD．

（2）（1）中的結論不成立．

點D在AB的延長線上時，AB=AF-BD；點D在AB的反向延長線上時，AB=BD-AF．

理由如下：

點D在AB的延長線上時，如圖2．

類比（1）的方法可得：FA=DA．

則AB=AD-BD=AF-BD．

②點D在AB的反向延長線上時，如圖3．

類比（1）的方法可得：FA=DA．

則AB=BD-AD=BD-AF．