Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、D兩點，與y軸交于點B，四邊形OBCD是矩形，點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，4），已知點E（m，0）是線段DO上的動點，過點E作PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，交BD于點H．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當點P在直線BC上方時，請用含m的代數式表示PG的長度；

（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PG=；（3）存在點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似，此時m的值為﹣1或．

【解析】

試題（1）將A（1，0），B（0，4）代入，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式.

（2）由E（m，0），B（0，4），得出P（m，），G（m，4），則由可用含m的代數式表示PG的長度.

（3）先由拋物線的解析式求出D（﹣3，0），則當點P在直線BC上方時，﹣3＜m＜0．分兩種情況進行討論：①△BGP∽△DEH；②△PGB∽△DEH．都可以根據相似三角形對應邊成比例列出比例關系式，進而求出m的值．

試題解析：解：（1）∵拋物線與x軸交于點A（1，0），與y軸交于點B（0，4），

∴，解得.

∴拋物線的解析式為.

（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，

∴P（m，），G（m，4）.

∴PG=.

（3）在（2）的條件下，存在點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似．

∵，∴當y=0時，，解得x=1或﹣3.

∴D（﹣3，0）．

當點P在直線BC上方時，﹣3＜m＜0．

設直線BD的解析式為y=kx+4，

將D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，解得k=.

∴直線BD的解析式為y=x+4. ∴H（m，m+4）．

分兩種情況：

①如果△BGP∽△DEH，那么，即.

由﹣3＜m＜0，解得m=﹣1.

②如果△PGB∽△DEH，那么，即.

由﹣3＜m＜0，解得m=．

綜上所述，在（2）的條件下，存在點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似，此時m的值為﹣1或．