Question

【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：

（1）寫出方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根；
（2）寫出不等式ax2+bx+c<0的解集；
（3）若方程ax2+bx+c+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，∵拋物線 與 軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和3，

∴方程 的兩根為 ；

（2）解：如圖，∵拋物線 位于 軸下方部分圖象所對應(yīng)的自變量的取值范圍為： 或 ，

∴不等式 的解集為： 或 ；

（3）解：如圖，可知點(diǎn)（1，0）、（3，0）在拋物線上，

∴ 拋物線的解析式為 ，

又∵點(diǎn)（2，2）在拋物線上，

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為 ，

所以方程 可化為： ，

∵該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴△= ，解得 .

【解析】（1）觀察函數(shù)圖像，可知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是對應(yīng)的函數(shù)值為0時(shí)的自變量的值，即方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根。
（2）要求不等式ax2+bx+c<0的解集，就是要求y＜0時(shí)自變量的取值范圍，觀察y＜0的圖像，就是看x軸下方的圖像即可求出結(jié)果。
（3）先觀察函數(shù)圖像可知點(diǎn)（1，0）、（3，0）（2，2）在拋物線上，設(shè)函數(shù)解析式為交點(diǎn)式，求出函數(shù)解析式，得出 2 x 2 + 8 x 6 + k = 0 ，再由該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得出b2-4ac＞0，建立不等式求解即可。
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用求根公式和拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2、當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根3、當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根；一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．即可以解答此題．