Question

【題目】已知 CD 是經過∠BCA 頂點 C 的一條直線，CA＝CB．E、F 分別是直線 CD 上兩點（不 重合），且∠BEC＝∠CFA＝∠a

(1)若直線 CD 經過∠BCA 的內部，且 E、F 在射線 CD 上，請解決下面問題：

①若∠BCA＝90°，∠a＝90°，請在圖 1 中補全圖形，并證明：BE＝CF，EF＝；

②如圖 2，若 0°<∠BCA<180°，請添加一個關于∠a 與∠BCA 關系的條件 ， 使①中的兩個結論仍然成立；

(2)如圖 3，若直線 CD 經過∠BCA 的外部，∠a＝∠BCA，請寫出 EF、BE、AF 三條線 段數量關系（不要求證明）．

Answer 1

【答案】(1)①見解析；②添加條件：∠α+∠ACB=180°時，①中兩個結論仍然成立，證明見解析；（2）EF=BE+AF．.

【解析】

（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；

②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．

（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．

（1）①如圖1中，

E點在F點的左側，∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，

∴∠BEC=∠AFC=90°，

∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，

∴∠CBE=∠ACF，

在△BCE和△CAF中，

，

∴△BCE≌△CAF（AAS），

∴BE=CF，CE=AF，.

∴EF=CF-CE=BE-AF，.

當E在F的右側時，同理可證EF=AF-BE，.

∴EF=|BE-AF|；

②∠α+∠ACB=180°時，①中兩個結論仍然成立；.

證明：如圖2中，.

.

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，.

∴∠CBE=∠ACF，.

在△BCE和△CAF中，.

，.

∴△BCE≌△CAF（AAS），.

∴BE=CF，CE=AF，.

∴EF=CF-CE=BE-AF，.

當E在F的右側時，同理可證EF=AF-BE，.

∴EF=|BE-AF|；

（2）EF=BE+AF．.