Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，點O在AC上，以OA為半徑的⊙O交AB于點D，BD的垂直平分線交BC于點E，交BD于點F，連接DE．

（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求線段DE的長．

Answer 1

【答案】（1）直線DE與⊙O相切；（2）4.75．

【解析】試題分析：(1) 直線DE與⊙O相切，連接OD，根據等腰三角形的性質可得∠A=∠ODA，根據線段垂直平分線的性質及等腰三角形的性質易得∠B=∠EDB，易證ODA＋∠EDB＝，即可得∠ODE＝－＝，所以直線DE與⊙O相切；（2）連接OE，設DE=x，則EB=ED=x，CE=8-x.因∠C=∠ODE =，根據勾股定理可得，即，解得x的值即可得線段DE的長.

試題解析： (1) 直線DE與⊙O相切.

理由如下：

連接OD，

∵OD=OA，

∴∠A=∠ODA.

∵EF是BD的垂直平分線，

∴EB="ED."

∴∠B=∠EDB.

∵∠C=，

∴∠A＋∠B＝.

∴∠ODA＋∠EDB＝.

∴∠ODE＝－＝.

∴直線DE與⊙O相切.

(2) 解法一：

連接OE，

設DE=x，則EB=ED=x，CE=8-x.

∵∠C=∠ODE =，

∴.

∴.

∴.

即DE=.

解法二：

連接DM，

∵AM是直徑，

∴∠MDA＝，AM=4.

又∵∠C=，

∴,

.

∴, ∴AD=2.4.

∴BD=10-2.4=7.6.

∴BF=.

∵EF⊥BD，∠C=，

∴.

∴, BE=.

∴DE=.