Question

【題目】平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關系
（1）已知AB平行于CD，如a圖，當點P在AB、CD外部時，∠BPD+∠D=∠B即∠BPD=∠B﹣∠D，為什么？請說明理由．如b圖，將點P移動到AB、CD內部，以上結論是否仍然成立？若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數量關系？請說明結論；
（2）在圖b中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉一定角度交直線CD于點Q，如圖c，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數量關系？（不需證明）
（3）根據（2）的結論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵AB∥CD，

∴∠B=∠COP，

∵∠COP=∠BPD+∠D，

∴∠B=∠BPD+∠D，

即：∠BPD=∠B﹣∠D，

②不成立，

結論：∠BPD=∠B+∠D，

理由：如圖b，

過點P作PG∥AB，

∴∠B=∠BPG，

∵PG∥AB，CD∥AB，

∴PG∥CD，

∴∠DPG=∠D，

∴∠BPD=∠BPG+∠DPG=∠B+∠D

（2）解：結論：∠DPQ=∠B+∠BQD+∠D，

理由：如圖c，

連接QP并延長，

∵∠BP∠G是△BPQ的外角，

∴∠BPG=∠B+∠BQP，

同理：∠DPG=∠D+∠DQP，

∴∠BPD=∠BPG+∠DPG=∠B+∠BQP+∠DQP+∠D=∠B+∠BQD+∠D

（3）解：如圖d，

∵∠DHM是△BFH的外角，

∴∠DHM=∠B+∠F，

同理：∠CMH=∠A+∠E，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠DHM+∠CMH+∠C+∠D=360°

【解析】（1）①利用平行線的性質和三角形的外角即可；②利用平行線的特點作出平行線，再利用平行線的性質即可；（2）利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內角的和即可；（3）利用三角形的外角的性質把角轉化到四邊形CDHM中，用四邊形的內角和即可．
【考點精析】掌握平行線的性質和旋轉的性質是解答本題的根本，需要知道兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．