Question

【題目】如圖，已知：在平行四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．求證：

（1）△AEH≌△CGF；
（2）四邊形EFGH是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A=∠C，

在△AEH與△CGF中，

，

∴△AEH≌△CGF（SAS）

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D．

又∵AE=CG，AH=CF，

∴BE=DG，BF=DH，

在△BEF與△DGH中，

∴△BEF≌△DGH（SAS），

∴EF=GH．

又由（1）知，△AEH≌△CGF，

∴EH=GF，

∴四邊形EFGH是平行四邊形，

∴HG∥EF，

∴∠HGE=∠FEG，

∵EG平分∠HEF，

∴∠HEG=∠FEG，

∴∠HEG=∠HGE，

∴HE=HG，

∴四邊形EFGH是菱形．

【解析】（1）由已知結合圖形容易利用SAS證明兩個三角形全等；
（2）先證明四邊形EFGH是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等，利用平行線的性質和EG平分∠HEF可證得∠HEG=∠HGE，從而得到HE=HG，即可得證.