Question

【題目】在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點Ａ順時針旋轉90°后，得到△AFB，連接EF，下列結論①△AEF≌△AED;②∠AED＝45°;③BE＋DC＝DE; ④BE＋DC＝DE，其中正確的是（　　　）

A. ②④ B. ①④ C. ②③ D. ①③

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根據旋轉的性質知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因為∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可證明△AEF≌△AED；

②由于∠ABC=45°，且∠AED=∠ABC+∠BAE=45°+∠BAE，而∠BAE不恒為零．可以判斷是否正確；

③根據①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF；由此即可確定說法是否正確；

④據①BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根據勾股定理判斷．

①根據旋轉的性質知∠CAD=∠BAF，AD=AF，

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，

∴∠CAD+∠BAE=45°．

∴∠EAF=45°，

∴△AEF≌△AED；

故①正確；

②∵∠ABC=45°，且∠AED=∠ABC+∠BAE=45°+∠BAE

而∠BAE不恒為零．

故②不正確；

③根據①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF，

∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，

故③錯誤；

④∵∠FBE=45°+45°=90°，

∴BE2+BF2=EF2，

∵△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，

∴△AFB≌△ADC，

∴BF=CD，

又∵EF=DE，

∴BE2+CD2=DE2，故④正確．

故選B．