Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，對角線AC ， BD相交于點O ， 且AC=6cm，BD=8cm，動點P ， Q分別從點B ， D同時出發，運動速度均為1cm/s，點P沿B→C→D運動，到點D停止，點Q沿D→O→B運動，到點O停止1s后繼續運動，到點B停止，連接AP ， AQ ， PQ ． 設△APQ的面積為y（cm2）（這里規定：線段是面積0的幾何圖形），點P的運動時間為x（s）．
（1）填空：AB=cm，AB與CD之間的距離為cm；
（2）當4≤x≤10時，求y與x之間的函數解析式；
（3）直接寫出在整個運動過程中，使PQ與菱形ABCD一邊平行的所有x的值．

Answer 1

【答案】
（1）5；
（2）解：設∠CBD=∠CDB=θ，則易得：sinθ= ，cosθ= ．

①當4≤x≤5時，如答圖1﹣1所示，此時點Q與點O重合，點P在線段BC上．

∵PB=x，

∴PC=BC﹣PB=5﹣x．

過點P作PH⊥AC于點H，則PH=PCcosθ= （5﹣x）．

∴y=S△APQ= QAPH= ×3× （5﹣x）=﹣ x+6；

②當5＜x≤9時，如答圖1﹣2所示，此時點Q在線段OB上，點P在線段CD上．

PC=x﹣5，PD=CD﹣PC=5﹣（x﹣5）=10﹣x．

過點P作PH⊥BD于點H，則PH=PDsinθ= （10﹣x）．

∴y=S△APQ=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S四邊形BCPQ﹣S△APD

=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣（S△BCD﹣S△PQD）﹣S△APD

= ACBD﹣ BQOA﹣（ BDOC﹣ QDPH）﹣ PD×h

= ×6×8﹣ （9﹣x）×3﹣[ ×8×3﹣ （x﹣1） （10﹣x）]﹣ （10﹣x）×

=﹣ x2+ x﹣ ；

③當9＜x≤10時，如答圖1﹣3所示，此時點Q與點B重合，點P在線段CD上．

y=S△APQ= AB×h= ×5× =12．

綜上所述，當4≤x≤10時，y與x之間的函數解析式為：

y=

（3）解：有兩種情況：

①若PQ∥CD，如答圖2﹣1所示．

此時BP=QD=x，則BQ=8﹣x．

∵PQ∥CD，

∴ ，

即 ，

∴x= ；

②若PQ∥BC，如答圖2﹣2所示．

此時PD=10﹣x，QD=x﹣1．

∵PQ∥BC，

∴ ，

即 ，

∴x= ．

綜上所述，滿足條件的x的值為 或 ．

【解析】解：（1）∵菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm， ∴AC⊥BD，
∴AB= = =5，
設AB與CD間的距離為h，
∴△ABC的面積S= ABh，
又∵△ABC的面積S= S菱形ABCD= × ACBD= ×6×8=12，
∴ ABh=12，
∴h= = ．
（1）根據勾股定理即可求得AB，根據面積公式求得AB與CD之間的距離．（2）當4≤x≤10時，運動過程分為三個階段，需要分類討論，避免漏解：①當4≤x≤5時，如答圖1﹣1所示，此時點Q與點O重合，點P在線段BC上；②當5＜x≤9時，如答圖1﹣2所示，此時點Q在線段OB上，點P在線段CD上；③當9＜x≤10時，如答圖1﹣3所示，此時點Q與點B重合，點P在線段CD上．（3）有兩種情形，需要分類討論，分別計算：①若PQ∥CD，如答圖2﹣1所示；②若PQ∥BC，如答圖2﹣2所示．