Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延長AB至點D，使DB=AB，連接CD，以CD為直角邊作等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°，連接BE.

（1）求證：△ACD≌△BCE；

（2）若AB=3cm，則BE= cm；

（3）BE與AD有何位置關系？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）根據等腰直角三角形的性質可得CD=CE，由∠ACB=90°可得∠ACB=∠DCE，即可證得∠ACD=∠BCE，再結合AC=BC，即可證得結論；（2）6；（3）垂直

【解析】

試題（1）根據等腰直角三角形的性質可得CD=CE，由∠ACB=90°可得∠ACB=∠DCE，即可證得∠ACD=∠BCE，再結合AC=BC，即可證得結論；

（2）先由勾股定理求得AB=3，再由DB=AB，可得AD的長，然后根據全等三角形的性質求解即可；

（3）根據全等三角形的性質及三角形的面積公式求解即可

解：（1）∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=90°，

∴CD=CE，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DCE，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

∵AC=BC

∴△ACD≌△BCE；

（2）∵AC=BC=3，∠ACB=90°，由勾股定理得：AB=3，

又∵DB=AB，

∴AD=2AB=6，

∵△ACD≌△BCE；

∴BE=AD=6cm；

（3）如圖所示：

∵△ACD≌△BCE

∴∠ADC=∠BEC

∵∠1=∠2，∠DCE=90°

∴∠DBE=∠DCE=90°

∴BE⊥AD.