Question

【題目】如圖,在等邊三角形ABC中,∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O,且OD∥AB交BC于點D,OE∥AC交BC于點E.

（1）試判斷△ODE的形狀,并說明你的理由;
（2）若BC=10,求△ODE的周長.

Answer 1

【答案】
（1）解：△ODE是等邊三角形.理由如下:
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵OD∥AB,OE∥AC,
∴∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°.
∴∠DOE=60°.
∴∠DOE=∠ODE=∠OED.
∴△ODE是等邊三角形 。
（2）解：∵BO平分∠ABC,且∠ABC=60°,
∴∠OBD=30°.
∴∠BOD=∠ODE-∠OBD=60°-30°=30°.
∴∠OBD=∠BOD.
∴BD=OD.
同理可得:CE=OE.
∴△ODE的周長=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=10
【解析】（1）△ODE是等邊三角形.理由如下:根據等邊三角形的性質得出∠ABC=∠ACB=60°，根據二直線平行，同位角相等得出∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°，根據三角形的內角和得出∠DOE=60°，從而得出∠DOE=∠ODE=∠OED，根據三個內角都相等的三角形是等邊三角形得出△ODE是等邊三角形；
（2）根據角平分線的定義得出∠OBD=30°，根據三角形的外角定理得出∠BOD=∠ODE-∠OBD=60°-30°=30°，從而得出∠OBD=∠BOD，根據等角對等邊得出BD=OD，同理可得:CE=OE，根據△ODE的周長=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC得出結論。