Question

【題目】如圖1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，連接AE，BG．

（1）試猜想線段BG和AE的數量關系是 ；

（2）將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉α（0°＜α≤360°），

①判斷（1）中的結論是否仍然成立？請利用圖2證明你的結論；

②若BC=DE=4，當AE取最大值時，求AF的值．

Answer 1

【答案】（1）BG=AE；（2）①見解析；②AF=2．

【解析】

試題分析：（1）由等腰直角三角形的性質及正方形的性質就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結論；

（2）①如圖2，連接AD，由等腰直角三角形的性質及正方形的性質就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結論；

②由①可知BG=AE，當BG取得最大值時，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出結論．

解：（1）BG=AE．

理由：如圖1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∴∠ADB=∠ADC=90°．

∵四邊形DEFG是正方形，

∴DE=DG．

在△BDG和△ADE中，

，

∴△ADE≌△BDG（SAS），

∴BG=AE．

故答案為：BG=AE；

（2）①成立BG=AE．

理由：如圖2，連接AD，

∵在Rt△BAC中，D為斜邊BC中點，

∴AD=BD，AD⊥BC，

∴∠ADG+∠GDB=90°．

∵四邊形EFGD為正方形，

∴DE=DG，且∠GDE=90°，

∴∠ADG+∠ADE=90°，

∴∠BDG=∠ADE．

在△BDG和△ADE中，

，

∴△BDG≌△ADE（SAS），

∴BG=AE；

②∵BG=AE，

∴當BG取得最大值時，AE取得最大值．

如圖3，當旋轉角為270°時，BG=AE．

∵BC=DE=4，

∴BG=2+4=6．

∴AE=6．

在Rt△AEF中，由勾股定理，得

AF==，

∴AF=2．