Question

【題目】（本題14分）如圖，點(diǎn)A和動(dòng)點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為Q，以AQ為邊作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ:AB=3:4，作△ABQ的外接圓O。點(diǎn)C在點(diǎn)P右側(cè)，PC=4，過(guò)點(diǎn)C作直線⊥，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥于點(diǎn)D，交AB右側(cè)的圓弧于點(diǎn)E。在射線CD上取點(diǎn)F，使DF=CD，以DE，DF為鄰邊作矩形DEGF，設(shè)AQ=

（1）用關(guān)于的代數(shù)式表示BQ，DF；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，若矩形DEGF的面積等于90，求AP的長(zhǎng)；

（3）在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，

①當(dāng)AP為何值時(shí)，矩形DEGF是正方形？

②作直線BG交⊙O于另一點(diǎn)N，若BN的弦心距為1，求AP的長(zhǎng)（直接寫(xiě)出答案）

Answer 1

【答案】BQ=5x，DF=3x；AP=9；AP為12或或3時(shí)，矩形DEGF是正方形；AP的長(zhǎng)為6或.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)Rt△ABQ中AQ:AB=3:4得出AQ=3x，AB=4x，BQ=5x，根據(jù)CD⊥m，l⊥m得出OD∥l，則OB=OQ，AH=BH=2x，則CD=2x，則FD=CD=3x；（2）AP=AQ=3x PC=4 ∴CQ="6x+4" 作OM⊥AQ于點(diǎn)M（如圖①）根據(jù)外接圓的性質(zhì)得出∠BAQ=90°，則點(diǎn)O是BQ的中點(diǎn)，則QM=AM=x，則OD=MC=x+4，OE=x，ED=2x+4，根據(jù)矩形的面積求出x的值，從而的好粗AP的長(zhǎng)度；（3）①當(dāng)矩形為正方形時(shí)，則ED=FD，點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，畫(huà)出圖形得出2x+4=3x，得出x的值和AP的長(zhǎng)度；點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)Q右側(cè)當(dāng) 0＜x＜時(shí)，畫(huà)出圖形得出ED=4－7x，FD=3x，求出x的值和AP的長(zhǎng)度；當(dāng)≤x＜時(shí)， ED=7－4x，DF=3x，從而求出x的值；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)Q左側(cè)時(shí)，即x≥畫(huà)出圖形可得：DE=7x－4，DF=3x，然后求出x的值和AP的長(zhǎng)度；②、連結(jié)NQ，有點(diǎn)O到BN的弦心距為1得：NQ=2，當(dāng)點(diǎn)N在AB的左側(cè)時(shí)畫(huà)出圖形，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥EG于點(diǎn)M，根據(jù)GM=x，BM=x得出∠GBM=45°，根據(jù)BM∥AQ，decubitusAI="AB=4x" ，IQ=x，NQ==2，從而求出x的值，得出AP的長(zhǎng)度；當(dāng)點(diǎn)N在AB的右側(cè)時(shí)，畫(huà)出圖形，然后利用同樣的方法求出AP的長(zhǎng)度.

試題解析：（1）在Rt△ABQ中，∵AQ:AB=3:4 ∴AQ=3x ∴AB=4x BQ=5x

又∵CD⊥m，l⊥m ∴OD∥l ∵OB=OQ ∴AH=BH=AB=2x ∴CD=2x ∴FD=CD=3x

（2）∵AP=AQ=3x PC=4 ∴CQ=6x+4 作OM⊥AQ于點(diǎn)M（如圖①） ∴OM∥AB

∵O是△ABQ的外接圓 ∠BAQ=90° ∴點(diǎn)O是BQ的中點(diǎn) ∴QM=AM=x ∴OD=MC=x+4

∴OE=BQ=x ∴ED=2x+4 ∴矩形DEGF的面積=DF·DE=3x（2x+4）=90

∴=－5（舍去）=3 ∴AP=3x=9

（3）①若矩形DEGF是正方形 則ED=FD

I、點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)（如圖①） ∴2x+4=3x，解得：x=4 ∴AP=3x=12

II、點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí) 當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)Q右側(cè) 0＜x＜時(shí)（如圖②） ∵ED=4－7x，FD=3x

∴4－7x=3x 解得：x=∴AP=

當(dāng)≤x＜時(shí)（如圖③） ED=7－4x，DF=3x ∴7－4x=3x 解得：x=1（舍去）

當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)Q左側(cè)時(shí)，即x≥（如圖④） DE=7x－4 DF=3x ∴7x－4=3x 解得：x=1 ∴AP=3

綜上所述：當(dāng)AP為12或或3時(shí)，矩形DEGF是正方形

②、AP的長(zhǎng)為6或

連結(jié)NQ，有點(diǎn)O到BN的弦心距為1得：NQ=2

當(dāng)點(diǎn)N在AB的左側(cè)時(shí)（如圖⑤） 過(guò)點(diǎn)B作BM⊥EG于點(diǎn)M ∵GM=x，BM=x ∴∠GBM=45°

∴BM∥AQ，∴AI=AB=4x ∴IQ=x ∴NQ==2 ∴x=2∴AP=6

當(dāng)點(diǎn)N在AB的右側(cè)時(shí)（如圖⑥），過(guò)點(diǎn)B作BJ⊥GE于點(diǎn)J ∵GJ=x，BJ=4x ∴tan∠GBJ=

∴AI=16x ∴QI=19x ∴NQ==2 ∴x=∴AP=.