Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，點G是BC邊上任意一點，DE⊥AG于點E，BF∥DE且交AG于點F．

（1）求證：AE=BF；

（2）如圖1，連接DF、CE，探究線段DF與CE的關系并證明；

（3）如圖2，若AB=，G為CB中點，連接CF，直接寫出四邊形CDEF的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）DF=CE且DF⊥CE．理由見解析.(3)3.

【解析】

試題（1）根據垂直的定義和平行線的性質求出∠AED=∠BFA=90°，根據正方形的性質可得AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，再利用同角的余角相等求出∠BAF=∠ADE，然后利用“角角邊”證明△AFB和△DEA全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=BF；

（2）根據同角的余角相等求出∠FAD=∠EDC，根據全等三角形對應邊相等可得AF=DE，根據正方形的性質可得AD=CD，然后利用“邊角邊”證明△FAD和△EDC全等，根據全等三角形對應邊相等可得DF=CE，全等三角形對應角相等可得∠ADF=∠DCE，再求出∠DCF+∠CDF=90°，然后根據垂直的定義證明即可；

（3）根據線段中點的定義求出BG，再利用勾股定理列式求出AG，然后利用△ABG的面積列出方程求出BF，再利用勾股定理列式求出AF，從而得到AE=EF，再根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得DF=AD，然后根據對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可得解．

試題解析：（1）證明：∵DE⊥AG于點E，BF∥DE且交AG于點F，

∴BF⊥AG于點F，

∴∠AED=∠BFA=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD且∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠BAF+∠EAD=90°，

∵∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠BAF=∠ADE，

在△AFB和△DEA中，

∴△AFB≌△DEA（AAS），

∴BF=AE；

（2）DF=CE且DF⊥CE．

理由如下：∵∠FAD+∠ADE=90°，∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°，

∴∠FAD=∠EDC，

∵△AFB≌△DEA，

∴AF=DE，

又∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD，

在△FAD和△EDC中，

∴△FAD≌△EDC（SAS），

∴DF=CE且∠ADF=∠DCE，

∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，

∴∠DCF+∠CDF=90°，

∴△FAD≌△EDC（SAS），

∴DF=CE且∠ADF=∠DCE，

∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，

∴∠DCF+∠CDF=90°，

∴DF⊥CE；

（3）∵AB=，G為CB中點，

∴BG=BC=，

由勾股定理得，AG=

∵S△ABG=AG×BF=AB×BG

∴××BF=××

解得：BF=

由勾股定理得，AF=

∵△AFB≌△DEA，

∴AE=BF=

∴AE=EF=

∴DE垂直平分AF，

∴DF=AD=6，

由（2）知，DF=CE且DF⊥CE，

∴四邊形CDEF的面積=DFCE=．