Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=4，OC=3，若拋物線經過O，A兩點，且頂點在BC邊上，對稱軸交BE于點F，點D，E的坐標分別為（3，0），（0，1）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）猜想△EDB的形狀并加以證明；

（3）點M在對稱軸右側的拋物線上，點N在x軸上，請問是否存在以點A，F，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x；（2）△EDB為等腰直角三角形；證明見解析；（3）（，2）或（，﹣2）．

【解析】試題分析：（1）由條件可求得拋物線的頂點坐標及A點坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）由B、D、E的坐標可分別求得DE、BD和BE的長，再利用勾股定理的逆定理可進行判斷；

（3）由B、E的坐標可先求得直線BE的解析式，則可求得F點的坐標，當AF為邊時，則有FM∥AN且FM=AN，則可求得M點的縱坐標，代入拋物線解析式可求得M點坐標；當AF為對角線時，由A、F的坐標可求得平行四邊形的對稱中心，可設出M點坐標，則可表示出N點坐標，再由N點在x軸上可得到關于M點坐標的方程，可求得M點坐標．

解：（1）在矩形OABC中，OA=4，OC=3，

∴A（4，0），C（0，3），

∵拋物線經過O、A兩點，

∴拋物線頂點坐標為（2，3），

∴可設拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+3，

把A點坐標代入可得0=a（4﹣2）2+3，解得a=﹣，

∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）2+3，即y=﹣x2+3x；

（2）△EDB為等腰直角三角形．

證明：

由（1）可知B（4，3），且D（3，0），E（0，1），

∴DE2=32+12=10，BD2=（4﹣3）2+32=10，BE2=42+（3﹣1）2=20，

∴DE2+BD2=BE2，且DE=BD，

∴△EDB為等腰直角三角形；

（3）存在．理由如下：

設直線BE解析式為y=kx+b，

把B、E坐標代入可得，解得，

∴直線BE解析式為y=x+1，

當x=2時，y=2，

∴F（2，2），

①當AF為平行四邊形的一邊時，則M到x軸的距離與F到x軸的距離相等，即M到x軸的距離為2，

∴點M的縱坐標為2或﹣2，

在y=﹣x2+3x中，令y=2可得2=﹣x2+3x，解得x=，

∵點M在拋物線對稱軸右側，

∴x＞2，

∴x=，

∴M點坐標為（，2）；

在y=﹣x2+3x中，令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x，解得x=，

∵點M在拋物線對稱軸右側，

∴x＞2，

∴x=，

∴M點坐標為（，﹣2）；

②當AF為平行四邊形的對角線時，

∵A（4，0），F（2，2），

∴線段AF的中點為（3，1），即平行四邊形的對稱中心為（3，1），

設M（t，﹣t2+3t），N（x，0），

則﹣t2+3t=2，解得t=，

∵點M在拋物線對稱軸右側，

∴x＞2，

∵t＞2，

∴t=，

∴M點坐標為（，2）；

綜上可知存在滿足條件的點M，其坐標為（，2）或（，﹣2）．