Question

【題目】已知拋物線（a＞0）與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側），點P是拋物線上一點，且PB=AB，∠PBA=120°，如圖所示．

（1）求拋物線的解析式．

（2）設點M（m，n）為拋物線上的一個動點，且在曲線PA上移動．

①當點M在曲線PB之間（含端點）移動時，是否存在點M使△APM的面積為？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．

②當點M在曲線BA之間（含端點）移動時，求|m|+|n|的最大值及取得最大值時點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①存在，M（3，）；②M（，）或（，）時，|m|+|n|的最大值為．

【解析】

試題分析：（1）先求出A、B兩點坐標，然后過點P作PC⊥x軸于點C，根據∠PBA=120°，PB=AB，分別求出BC和PC的長度即可得出點P的坐標，最后將點P的坐標代入二次函數解析式即；

（2）①過點M作ME⊥x軸于點E，交AP于點D，分別用含m的式子表示點D、M的坐標，然后代入△APM的面積公式DMAC，根據題意列出方程求出m的值；

②根據題意可知：n＜0，然后對m的值進行分類討論，當﹣2≤m≤0時，|m|=﹣m；當0＜m≤2時，|m|=m，列出函數關系式即可求得|m|+|n|的最大值．

試題解析：（1）如圖1，令y=0代入，∴，∵a＞0，∴，∴x=±2，∴A（﹣2，0），B（2，0），∴AB=4，過點P作PC⊥x軸于點C，∴∠PBC=180°﹣∠PBA=60°，∵PB=AB=4，∴cos∠PBC=，∴BC=2，由勾股定理可求得：PC=，∵OC=OC+BC=4，∴P（4，），把P（4，）代入，∴=16a﹣4a，∴a=，∴拋物線解析式為：；

（2）∵點M在拋物線上，∴，∴M的坐標為（m，）；

①當點M在曲線PB之間（含端點）移動時，∴2≤m≤4，如圖2，過點M作ME⊥x軸于點E，交AP于點D，設直線AP的解析式為y=kx+b，把A（﹣2，0）與P（4，）代入y=kx+b，得：，解得：，∴直線AP的解析式為：，令x=m代入，∴，∴D的坐標為（m，），∴DM==，∴S△APM=DMAE+DMCE

=DM（AE+CE）=DMAC=，當S△APM=時，∴=，∴解得m=3或m=﹣1，∵2≤m≤4，∴m=3，此時，M的坐標為（3，）；

②當點M在曲線BA之間（含端點）移動時，∴﹣2≤m≤2，n＜0，當﹣2≤m≤0時，∴|m|+|n|=﹣m﹣n==，當m=時，∴|m|+|n|可取得最大值，最大值為，此時，M的坐標為（，），當0＜m≤2時，∴|m|+|n|=m﹣n==，當m=時，∴|m|+|n|可取得最大值，最大值為，此時，M的坐標為（，），綜上所述，當點M在曲線BA之間（含端點）移動時，M的坐標為（，）或（，）時，|m|+|n|的最大值為．