Question

如圖，△內接于⊙，點在的延長線上，sinB＝,∠CAD＝30°⑴求證:是⊙的切線；⑵若,求的長。

Answer 1

（1）是⊙的切線
（1）證明：如圖，連接OA
∵sinB=  ∴∠B=30°∴∠AOC=60°.
又OA=OC   ∴△AOC為等邊三角形，∴∠OAC=60°.
又∠CAD=30°, ∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=60°+30°=90°
∴OA⊥AD , ∴AD是⊙O的切線。…………………4分
（2）∵OD⊥AB,  ∴=  ∴AC=BC=5
由（1）知：OA="AC," ∴OA=5………………………6分
在RT△OAD中, tan∠AOD= ,
∴AD="OA" ·tan∠AOD="5" ·tan60°=5……………8分

（1）連接OA，由于sinB=，那么可求∠B=30°，利用圓周角定理可求∠AOC=60°，而OA=OB，那么△AOC是等邊三角形，從而有∠OAC=60°，易求∠OAD=90°，即AD是⊙O的切線；
（2）由于OC⊥AB，OC是半徑，利用垂徑定理可知OC是AB的垂直平分線，那么CA=CB，而∠B=30°，則∠BAC=30°，于是有∠DAE=60°，∠D=30°，在Rt△ACE中，利用三角函數值可求AE，在Rt△ADE中利用30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求AD．